Dưới đây là tóm tắt một chứng minh tương đối sơ cấp của Ryuji Maehara[1].

Để chứng minh định lý đường cong Jordan chúng ta sẽ dùng Định lý điểm bất động Brouwer: Bất kỳ một hàm liên tục f: Bn → {\displaystyle \to } Bn đều có một điểm bất động, trong đó Bn là một quả cầu đơn vị đóng 'n-chiều..

Một định lý nữa cũng được dùng là Định lý mở rộng Tiestze: Cho X là một không gian chuẩn tắc, cho F là một tập đóng trong X. Cho f: F → {\displaystyle \to } R là liên tục. Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục g: X → {\displaystyle \to } R sao cho g|F=f .

Nhận xét

1. R2\J có đúng một thành phần không bị chặn.
2. Mỗi thành phần của R2\J đều mở và liên thông đường.

Hai Bổ đề sau đây trực tiếp dẫn đến chứng minh của Định lý đường cong Jordan.

Bổ đề 1

Nếu R2\J không liên thông, thì J là biên của mỗi thành phần.

Hướng chứng minh. Do giả thiết R2\J có ít nhất hai thành phần. Gọi U là một thành phần bất kỳ. Ta có ngay U ¯ ∩ {\displaystyle {\bar {U}}\cap } (R2\U) ⊂ {\displaystyle \subset } J. Tiếp theo ta sẽ đi chứng minh U ¯ ∩ {\displaystyle {\bar {U}}\cap } (R2\U)=J bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, U ¯ ∩ {\displaystyle {\bar {U}}\cap } (R2\U)=A trong đó A là một cung, đồng phôi với khoảng [0,1]. Gọi D là một đĩa đóng tâm tại một điểm thuộc thành phần bị chặn, đủ lớn để chứa J bên trong. Theo định lý mở rộng Tiestze ánh xạ đồng nhất trên A có một mở rộng liên tục r:D → {\displaystyle \to } A.

Định nghĩa ánh xạ q: D → {\displaystyle \to } D như sau:

Nếu U bị chặn:Nếu z ∈ U ¯ {\displaystyle z\in {\bar {U}}} , q(z)= r(z)Nếu z ∈ {\displaystyle z\in } R2\U, q(z)= z.Nếu U không bị chặn:Nếu z ∈ U ¯ {\displaystyle z\in {\bar {U}}} , q(z)= zNếu z ∈ {\displaystyle z\in } R2\U, q(z)= r(z).

Ánh xạ q được định nghĩa tốt và liên tục. Ngoài ra q không phải là một toàn ánh. Sử dụng Định lý điểm bất động Brouwer ta có thể tìm ra một mâu thuẫn.

Bổ đề 2

Gọi E(a,b;c,d)={(x,y) | a ≤ {\displaystyle \leq } x ≤ {\displaystyle \leq } b,c ≤ {\displaystyle \leq } y ≤ {\displaystyle \leq } d } trong mặt phẳng R2, trong đó a ≤ {\displaystyle \leq } b và c ≤ {\displaystyle \leq } d. Cho h(t) = (h1(t),h2(t)) và v(t) = (v1(t),v2(t)) là những đường liên tục trong E(a,b;c,d) thỏa mãn h1(-1)=a, h1(1)=b, v2(-1)=c, v2(1)=d. Khi đó hai đường này phải cắt nhau, có nghĩa là: h(s) = v(t), với s, t nào đó trong [-1,1].

Hướng chứng minh. Hướng tiếp cận Bổ đề này là bằng phản chứng bằng cách xây dựng một ánh xạ F: E(-1,1;-1,1) → {\displaystyle \to } E(-1,1;-1,1) được xác định bởi

F(s,t)= ( v 1 ( t ) − h 1 ( s ) N ( s , t ) , h 2 ( s ) − v 2 ( t ) N ( s , t ) ) {\displaystyle \left({\frac {v_{1}(t)-h_{1}(s)}{N(s,t)}},{\frac {h_{2}(s)-v_{2}(t)}{N(s,t)}}\right)}

trong đó N(s,t) = Max{ | h 1 ( s ) − v 1 ( t ) | , | h 2 ( s ) − v 2 ( t ) | {\displaystyle |h_{1}(s)-v_{1}(t)|,|h_{2}(s)-v_{2}(t)|} }. Khi đó F không có điểm bất động, trái với Định lý điểm bất động Brouwer.

Chứng minh định lý đường cong Jordan

Bước 1: Thiết lập một điểm z 0 ∈ {\displaystyle z_{0}\in } R2\J.

Bước 2: Chứng minh thành phần U chứa điểm z 0 {\displaystyle z_{0}} là bị chặn, sử dụng Bổ đề 2.

Bước 3: Chứng minh không có thành phần bị chặn nào khác ngoài U.

Do Bổ đề 1, giải quyết xong 3 bước trên tức là ta đã chứng minh được Định lý đường cong Jordan.